Подборки: По Пользовательской Задаче
Страницы с задачами и решениями, страница 8
страницы с задачами и решениями
529 формул
Таблица формул
Показаны 421-480 из 529. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Закон Брэгга для дифракции на кристалле | $2d\sin\theta=n\lambda$ | Геометрическая оптика | Закон Брэгга задает условие конструктивной интерференции волн, отраженных от соседних кристаллических плоскостей. Он связывает межплоскостное расстояние, угол скольжения, порядок максимума и длину волны. |
| Погрешность косвенного измерения через частные производные | $u_f=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i}\right)^2}$ | Физические величины и измерения | Формула распространения неопределенности оценивает стандартную погрешность величины, найденной косвенно через измеренные аргументы. Частные производные показывают чувствительность результата к каждому входному измерению. |
| Гармоническое среднее: скорости на равных участках | $H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$ | Описательная статистика | Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке. |
| Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения | $G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$ | Описательная статистика | Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую. |
| Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке | $g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых. |
| Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент | $g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3. |
| Неравенство Чебышёва: граница вероятности отклонения | $P(|X-\mu|\ge a)\le\min\left(1,\frac{\sigma^2}{a^2}\right),\qquad a>0$ | Описательная статистика | Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность отклонения случайной величины от её среднего через дисперсию. Оно не требует нормального распределения и даёт верхнюю границу, а не точную вероятность события. |
| Индекс Жаккара: сходство через пересечение множеств | $J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$ | Алгоритмы и анализ данных | Индекс Жаккара показывает долю общих элементов в объединении двух множеств. Он принимает значения от 0 до 1: ноль означает отсутствие пересечения, а единица — совпадение множеств. |
| Косинусное сходство векторов: формула и расчёт угла | $\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\,\lVert b\rVert}$ | Алгоритмы и анализ данных | Косинусное сходство сравнивает направление двух ненулевых векторов и принимает значения от −1 до 1. Для неотрицательных векторов оно показывает, насколько совпадает профиль признаков. |
| Расстояние Левенштейна: вставки, удаления и замены | $D(i,j)=\min\{D(i-1,j)+1,D(i,j-1)+1,D(i-1,j-1)+[a_i\ne b_j]\}$ | Алгоритмы и анализ данных | Расстояние Левенштейна — минимальное число вставок, удалений и замен стоимостью 1, превращающих одну строку в другую. Перестановка соседних символов отдельной операцией не считается. |
| Неравенство Крафта: длины двоичных префиксных кодов | $\sum_{i=1}^{m}2^{-l_i}\le 1$ | Кодирование информации | Неравенство Крафта проверяет, могут ли заданные длины двоичных слов образовать префиксный код: сумма 2 в степени минус длина не должна превышать единицу. |
| Двоичный поиск: максимальное число сравнений ключа | $C_{\max}(n)=\lfloor\log_2 n\rfloor+1,\quad n\ge1$ | Алгоритмы и анализ данных | Двоичный поиск в отсортированном массиве отбрасывает половину диапазона после каждого трехстороннего сравнения. В худшем случае для n≥1 требуется не более ⌊log₂ n⌋+1 итераций. |
| Отражение света при нормальном падении: формула Френеля | $R=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ | Геометрическая оптика | При нормальном падении света на границу двух прозрачных непоглощающих сред доля отражённой мощности равна квадрату отношения разности показателей преломления к их сумме. |
| Угол Брюстера: поляризация света при отражении от границы | $\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$ | Геометрическая оптика | При угле Брюстера отражённый p-компонент света исчезает: для двух непоглощающих немагнитных сред тангенс угла падения равен отношению показателей преломления второй и первой среды. |
| Критический угол: условие полного внутреннего отражения | $\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\quad n_1>n_2$ | Геометрическая оптика | Критический угол существует при переходе из среды с большим показателем преломления в меньший и задаётся синусом θc=n₂/n₁. При больших углах возникает полное внутреннее отражение. |
| Критерий Рэлея: угловое разрешение круглой апертуры | $\theta_{min}\approx1.22\frac{\lambda}{D}$ | Колебания и волны | Критерий Рэлея задаёт предельное угловое разрешение круглой апертуры: два точечных источника различимы на границе, когда θ≈1,22λ/D. |
| Дифракция на одиночной щели: углы тёмных минимумов | $a\sin\theta=m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,...$ | Колебания и волны | Минимумы одиночной щели возникают при a sinθ=mλ для ненулевых целых m; формула описывает разрушительную интерференцию волн от разных частей одной щели. |
| Закон Рауля: давление пара над раствором нелетучего вещества | $p=x_1p^*$ | Растворы | В идеальном растворе с нелетучим растворённым веществом парциальное давление растворителя равно его молярной доле, умноженной на давление чистого растворителя. |
| Повышение температуры кипения: расчёт по моляльности | $\Delta T_b=iK_bm$ | Растворы | Повышение температуры кипения разбавленного раствора равно произведению фактора Вант-Гоффа, эбуллиоскопической постоянной растворителя и моляльности. |
| Уравнение Аррениуса для констант при двух температурах | $\ln\frac{k_2}{k_1}=\frac{E_a}{R}\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)$ | Базовые химические расчеты | Двухтемпературная форма уравнения Аррениуса связывает отношение констант скорости реакции с энергией активации и двумя абсолютными температурами. |
| Ионная сила раствора: расчёт по концентрациям и зарядам ионов | $I=\frac12\sum_i c_i z_i^2$ | Растворы | Ионная сила раствора равна половине суммы произведений концентрации каждого иона на квадрат его заряда и характеризует электростатическую неидеальность раствора. |
| Правило фаз Гиббса: расчёт числа степеней свободы системы | $F=C-P+2$ | Физическая химия | Правило фаз Гиббса определяет число независимых интенсивных переменных F в равновесной системе без химических реакций и внешних полей: F=C−P+2. |
| Числа Белла: все разбиения множества на группы | $B_n=\sum_{k=0}^{n}S(n,k),\qquad B_0=1$ | Графы, логика | Число Белла считает все способы разделить различимые элементы на непустые непересекающиеся группы. Число групп заранее не задано, их порядок и порядок элементов внутри группы не учитываются. |
| Числа Стирлинга первого рода: циклы перестановки | $c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)$ | Графы, логика | Беззнаковые числа Стирлинга первого рода считают перестановки n различных элементов, состоящие ровно из k циклов. Рекурсия отделяет новый одноэлементный цикл от вставки элемента в существующий цикл. |
| Круговые перестановки: рассадка за круглым столом | $P_{\mathrm{circle}}(n)=\frac{n!}{n}=(n-1)!,\qquad n\ge1$ | Графы, логика | Число круговых перестановок n различных объектов равно (n−1)!, если повороты всей расстановки считаются одинаковыми. Зеркальное отражение при этом обычно даёт другой порядок соседей. |
| Число сюръекций: распределение без пустых ящиков | $N(n,k)=k!S(n,k)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}(k-j)^n$ | Графы, логика | Сюръективное отображение отправляет n различимых объектов в k различимых ящиков так, чтобы каждый ящик был занят. Формула считает такие распределения через числа Стирлинга или включения и исключения. |
| Формула Кэли: число деревьев с помеченными вершинами | $T_n=n^{n-2},\qquad n\ge2$ | Графы, логика | Формула Кэли считает неориентированные деревья на заданных n различных вершинах: связные графы без циклов. Метки вершин сохраняются, а расположение рисунка на плоскости не создаёт новых деревьев. |
| Корреляция Спирмена: связь между рангами величин | $r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов. |
| Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары | $\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей. |
| Медианное абсолютное отклонение MAD: устойчивый разброс | $m=\operatorname{med}(x_1,\ldots,x_n),\qquad MAD=\operatorname{med}_{i}|x_i-m|$ | Описательная статистика | MAD — медиана абсолютных расстояний наблюдений от медианы выборки. Эта мера разброса меньше реагирует на отдельные крайние значения, чем стандартное отклонение, и сохраняет единицы исходной величины. |
| Усечённое среднее: симметричное удаление крайних значений | $\bar{x}_{\mathrm{trim}}=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}$ | Описательная статистика | Усечённое среднее получают, удалив одинаковое число наименьших и наибольших наблюдений, а затем усреднив оставшиеся. Параметр k задаёт число удалений с каждого края, а не общее число отброшенных значений. |
| Винзоризированное среднее: замена крайних значений | $\bar{x}_W=\frac{kx_{(k+1)}+\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}+kx_{(n-k)}}{n}$ | Описательная статистика | Винзоризированное среднее ограничивает влияние хвостов: k нижних значений заменяют ближайшей оставшейся границей, k верхних — верхней границей. Количество наблюдений и знаменатель n сохраняются. |
| TOROW в Excel: превратить массив в одну строку | $\texttt{=TOROW(array,[ignore],[scan\_by\_column])}$ | Базовые формулы Excel | TOROW разворачивает прямоугольный массив в одну горизонтальную разлившуюся строку, сохраняя порядок по строкам или переключаясь на обход по столбцам. |
| WRAPROWS в Excel: собрать список в строки фиксированной длины | $\texttt{=WRAPROWS(vector,wrap\_count,[pad\_with])}$ | Базовые формулы Excel | WRAPROWS раскладывает одномерный вектор по строкам с заданным числом элементов, а недостающие позиции заполняет выбранным значением. |
| WRAPCOLS в Excel: разложить список по столбцам | $\texttt{=WRAPCOLS(vector,wrap\_count,[pad\_with])}$ | Базовые формулы Excel | WRAPCOLS превращает одномерный список в матрицу, заполняя каждый столбец сверху вниз. Аргумент wrap_count задаёт высоту столбца, а pad_with заполняет недостающие позиции последней колонки. |
| CHOOSECOLS в Excel: выбрать столбцы массива по номерам | $\texttt{=CHOOSECOLS(array,col\_num1,[col\_num2],…)}$ | Базовые формулы Excel | CHOOSECOLS возвращает только названные столбцы исходного массива, допускает перестановку, повтор и отрицательные номера с конца. |
| CHOOSEROWS в Excel: выбрать строки массива по номерам | $\texttt{=CHOOSEROWS(array,row\_num1,[row\_num2],…)}$ | Базовые формулы Excel | CHOOSEROWS извлекает отдельные строки массива по их позициям, сохраняя порядок аргументов и позволяя обращаться к строкам с конца. |
| Химический потенциал компонента идеальной смеси | $\mu_i(T,p,x_i)=\mu_i^*(T,p)+RT\ln x_i$ | Физическая химия | Формула показывает, как мольная доля компонента изменяет его химический потенциал в идеальной смеси при заданной температуре и давлении. |
| Уравнение Нернста для электродного потенциала | $E=E^\circ-\frac{RT}{zF}\ln Q$ | Базовые химические расчеты | Уравнение Нернста связывает потенциал обратимого электрода со стандартным потенциалом, температурой, числом электронов и активностями участников окислительно-восстановительной реакции. |
| Связь констант равновесия Kp и Kc для идеальных газов | $K_p=K_c(R_0T)^{\Delta\nu}$ | Газы в химии | Формула переводит размерную учебную константу равновесия через концентрации в константу через парциальные давления идеальных газов при согласованных единицах. |
| Уравнение Михаэлиса–Ментен для начальной скорости | $v=\frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]}$ | Базовые химические расчеты | Уравнение Михаэлиса–Ментен описывает начальную скорость ферментативной реакции через предельную скорость, концентрацию субстрата и параметр Km. |
| Изотерма адсорбции Лэнгмюра | $\theta=\frac{Kp}{1+Kp}$ | Базовые химические расчеты | Изотерма Лэнгмюра связывает равновесное давление газа с долей занятых поверхностных мест. Для молекулярной однослойной адсорбции покрытие растёт по гиперболе и приближается к единице. |
| Функция Эйлера: произведение по простым делителям | $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)$ | Арифметика и теория чисел | Функция Эйлера φ(n) считает положительные целые числа от 1 до n, взаимно простые с n. Для вычисления достаточно знать различные простые делители n: каждый входит в произведение ровно один раз. |
| Число делителей по разложению на простые множители | $n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \tau(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_i+1)$ | Арифметика и теория чисел | Число положительных делителей n равно произведению увеличенных на единицу показателей в его простом разложении. Каждый делитель получается независимым выбором допустимой степени каждого простого множителя. |
| Сумма делителей по простому разложению числа | $n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \sigma(n)=\prod_{i=1}^{r}(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i})$ | Арифметика и теория чисел | Сумма положительных делителей n получается перемножением сумм степеней каждого простого множителя от нуля до его показателя. В сумму входят единица и само число; для собственных делителей затем вычитают n. |
| Обратный элемент по модулю через расширенный алгоритм Евклида | $au+mv=1\quad\Longrightarrow\quad a^{-1}\equiv u\pmod m$ | Арифметика и теория чисел | Обратный к a по модулю m — это остаток, произведение которого с a даёт единицу по модулю m. Расширенный алгоритм Евклида находит его как коэффициент при a в целочисленном равенстве Безу. |
| Китайская теорема об остатках для двух взаимно простых модулей | $x\equiv r+m\bigl((s-r)m^{-1}\bmod n\bigr)\pmod{mn}$ | Арифметика и теория чисел | Китайская теорема об остатках восстанавливает общий класс чисел по остаткам r и s при делении на взаимно простые m и n. Решение существует для любой пары остатков и единственно по модулю произведения mn. |
| Распределение Пуассона: вероятность числа событий | $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ | Вероятность и статистика | Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью. |
| Геометрическое распределение: номер первого успеха | $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ | Вероятность и статистика | Геометрическое распределение описывает число независимых попыток до первого успеха включительно. Вероятность успеха p остаётся одинаковой в каждой попытке, а предшествующие попытки заканчиваются неудачей. |
| Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения | $P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ | Вероятность и статистика | Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу. |
| Равномерное распределение: вероятность попасть в интервал | $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a},\qquad a\le c\le d\le b$ | Вероятность и статистика | Для непрерывного равномерного распределения на отрезке [a,b] вероятность попадания в его часть [c,d] равна отношению длин. Равные по длине части имеют одинаковые вероятности независимо от положения. |
| Экспоненциальное распределение: вероятность времени ожидания | $P(T>t)=e^{-\lambda t}$ | Вероятность и статистика | Экспоненциальная модель даёт вероятность ждать событие дольше t при постоянной интенсивности λ. В отличие от счёта событий по Пуассону, случайной величиной здесь служит непрерывное время до ближайшего события. |
| VSTACK в Excel: объединить массивы по строкам | $\texttt{=VSTACK(A2:B3,D2:E4)}$ | Базовые формулы Excel | VSTACK последовательно ставит массивы один под другим и возвращает единый разливающийся диапазон. При разной ширине недостающие позиции получают #N/A. |
| HSTACK в Excel: объединить массивы по столбцам | $\texttt{=HSTACK(A2:A4,C2:D3)}$ | Базовые формулы Excel | HSTACK ставит массивы рядом и возвращает общий разлившийся диапазон. Высота равна максимуму высот аргументов, а недостающие строки получают #N/A. |
| EXPAND в Excel: увеличить массив до заданного размера | $\texttt{=EXPAND(A2:B3,4,3,"-")}$ | Базовые формулы Excel | EXPAND увеличивает массив до заданного числа строк и столбцов, заполняя новые ячейки pad_with или #N/A по умолчанию. Уменьшение размера даёт #VALUE!. |
| REDUCE в Excel: получить один результат из массива | $\texttt{=REDUCE(0,A2:A4,LAMBDA(a,v,a+v\char94 2))}$ | Базовые формулы Excel | REDUCE последовательно применяет LAMBDA к элементам массива и возвращает один финальный аккумулятор. Это удобная основа для сумм, произведений и условных счётчиков. |
| SCAN в Excel: вывести промежуточные аккумуляторы | $\texttt{=SCAN(0,A2:A4,LAMBDA(a,v,a+v))}$ | Базовые формулы Excel | SCAN применяет LAMBDA к элементам массива и возвращает все промежуточные аккумуляторы. Функция строит нарастающие итоги и помогает увидеть ход вычисления. |
| Энтропия Шеннона: средняя информация дискретного источника | $H(X)=-\sum_{i=1}^{m}p_i\log_2p_i$ | Кодирование информации | Энтропия Шеннона измеряет среднюю неопределённость исхода по его вероятностям. При двоичном логарифме результат выражают в битах на символ; редкие и частые символы вносят разный вклад. |
| Средняя длина кода Хаффмана: расход бит на символ | $\overline{L}=\sum_{i=1}^{m}p_i\ell_i$ | Кодирование информации | Средняя длина двоичного кода равна сумме длин кодовых слов с весами вероятностей символов. Для кода Хаффмана этот расход минимален среди двоичных посимвольных префиксных кодов с заданными вероятностями. |
| Минимальное расстояние кода: сколько ошибок можно исправить | $t=\left\lfloor\frac{d_{\min}-1}{2}\right\rfloor$ | Кодирование информации | Минимальное расстояние между разрешёнными кодовыми словами определяет гарантированное число исправляемых замен битов. Чтобы исправить любые t ошибок, нужно расстояние не меньше 2t+1. |