Математика: классы
Формулы по математике за 7 класс, страница 2
Повторить первые формулы алгебры и геометрии: многочлены, сокращенное умножение, углы, треугольники.
97 формул
Таблица формул
Показаны 61-97 из 97. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Произведение множителей вида x + a и x + b | $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ | Алгебра | Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению. |
| Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными | $y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$ | Алгебра | Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой. |
| Угол при вершине равнобедренного треугольника | $\beta=180^\circ-2\alpha$ | Геометрия | Если известен угол при основании равнобедренного треугольника, угол при вершине находят как 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Она помогает не подменять гео. |
| Угол равностороннего треугольника | $\alpha=60^\circ$ | Геометрия | В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Периметр равностороннего треугольника | $P=3a$ | Геометрия | Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Коэффициент произведения одночленов | $(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$ | Алгебра | При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Степень нуля с натуральным показателем | $0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$ | Алгебра | Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Третий угол треугольника | $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$ | Геометрия | Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять. |
| Угол при основании равнобедренного треугольника | $\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}$ | Геометрия | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности 180° и этого угла. Она помогает. |
| Внутренние односторонние углы при параллельных прямых | $\alpha+\beta=180^\circ$ | Геометрия | Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п. |
| Степень частного двух выражений | $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$ | Алгебра | Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат суммы двух выражений | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат разности двух выражений | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность квадратов двух выражений | $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб суммы двух выражений | $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | Алгебра | Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб разности двух выражений | $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | Алгебра | Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Сумма кубов двух выражений | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | Алгебра | Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность кубов двух выражений | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ | Алгебра | Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Степени и корни: основные свойства | $a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ | Алгебра | Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике. |
| Формулы сокращенного умножения | $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов. |
| Модуль числа и его определение | $|x|=\begin{cases}x,\ x\ge0,\\-x,\ x<0.\end{cases}$ | Алгебра | Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0. |
| Планиметрия: площадь треугольника через основание и высоту | $S=\frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника равна половине произведения выбранного основания на высоту, опущенную к этому основанию. Формула является одной из главных в планиметрии. |
| Линейное уравнение с одной переменной | $ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$ | Алгебра | Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной. |
| Пропорция и основное свойство пропорции | $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$ | Алгебра | Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным. |
| Процент от числа в задачах 7 класса | $p\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\cdot a$ | Арифметика и теория чисел | Процент от числа показывает, какая часть величины соответствует p сотым долям. Формула переводит проценты в дробь и умножает эту дробь на исходное число. |
| Число по его проценту | $a=\frac{b\cdot100}{p}$ | Арифметика и теория чисел | Число по его проценту находят, когда известна часть b и известно, что эта часть составляет p% от целого. Формула восстанавливает исходное целое делением на долю. |
| Процентное изменение | $r=\frac{b-a}{a}\cdot100\%$ | Арифметика и теория чисел | Процентное изменение показывает, на сколько процентов новая величина b отличается от исходной величины a. Знак результата показывает рост или уменьшение. |
| Среднее арифметическое для набора чисел | $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ | Вероятность и статистика | Среднее арифметическое равно сумме всех значений, деленной на их количество. Оно показывает, какое одинаковое значение пришлось бы на каждый объект при равномерном распределении суммы. |
| Медиана набора чисел | $Me=x_{(\frac{n+1}{2})}\text{ при нечетном }n,\quad Me=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}\text{ при четном }n$ | Вероятность и статистика | Медиана - это центральное значение упорядоченного набора. При нечетном количестве чисел берут средний элемент, при четном - среднее двух центральных. |
| Масштаб чертежа | $M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$ | Геометрия | Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта. |
| Скорость, время и расстояние | $s=vt,\quad v=\frac{s}{t},\quad t=\frac{s}{v}$ | Алгебра | Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью. |
| Работа через производительность и время | $A=pt,\quad p=\frac{A}{t},\quad t=\frac{A}{p}$ | Алгебра | В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени. |