Математический анализ

Математический анализ, страница 3

Раздел высшей математики о пределах, непрерывности, производных, интегралах, рядах и функциях нескольких переменных.

132 формулы

Таблица формул

Показаны 121-132 из 132. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка	$y'=F\left(\frac yx\right),\quad y=vx,\quad y'=v+xv'$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «замена y=vx» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Точное дифференциальное уравнение первого порядка	$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,\quad M=\Phi_x,\;N=\Phi_y,\quad \Phi=C$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «потенциальная функция» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Интегрирующий множитель для уравнения первого порядка	$\mu Mdx+\mu Ndy=0,\quad (\mu M)_y=(\mu N)_x$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «интегрирующий множитель общего уравнения» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Характеристическое уравнение линейного ОДУ второго порядка	$ay''+by'+cy=0,\quad ar^2+br+c=0$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «характеристическое уравнение» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Решение однородного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами	$ay''+by'+cy=0,\quad y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «суперпозиция экспонент» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Метод неопределенных коэффициентов для линейного ОДУ	$L[y]=f(x),\quad y=y_h+y_p$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «подбор частного решения» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Метод вариации постоянных для линейного ОДУ	$y_p=u_1y_1+u_2y_2,\quad u_1'y_1+u_2'y_2=0$	ОДУ, системы	Формула описывает метод «вариация постоянных» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.
Метод бисекции: корень и гарантированная точность	$c=\frac{a+b}{2},\qquad \|c-r\|\leq\frac{b-a}{2}$	Начала анализа	Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.
Метод Ньютона: приближение корня по касательной	$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$	Начала анализа	Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.
Метод секущих: поиск корня без вычисления производной	$x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$	Начала анализа	Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.
Составная формула трапеций для вычисления интеграла	$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$	Начала анализа	Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.
Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам	$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$	Начала анализа	Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.