Математика / Начала анализа
Метод секущих: поиск корня без вычисления производной
Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.
Формула
На каждом шаге используются две последние строки, а не неизменный исходный отрезок.
Обозначения
- $x_k,x_{k-1}$
- два последних приближения; k — номер шага, единица аргумента
- $x_{k+1}$
- новое приближение корня, единица аргумента
- $f(x_k),f(x_{k-1})$
- значения функции в двух точках, единица функции
Условия применения
Две исходные точки должны быть различны, а значения функции в них — не равны, иначе разностный наклон не позволяет вычислить шаг. Для обычной локальной сходимости рассматривают достаточно гладкую функцию, простой корень и близкие к нему начальные приближения.
Ограничения
Смена знака в исходных точках не заставляет обычный метод секущих сохранять отрезок с корнем. Близкие значения функции вызывают деление на малую разность и большой шаг. При разрывах, плохом старте или кратном корне привычные оценки скорости могут не выполняться.
Подробное объяснение
Две точки графика определяют секущую прямую. Её наклон равен разности значений функции, делённой на разность аргументов. Если этот наклон ненулевой, пересечение прямой с горизонтальной осью вычисляется одним линейным уравнением и задаёт новое приближение.
В отличие от метода Ньютона, здесь не требуется аналитическая производная. Вместо неё используется наклон, оцененный по двум последним точкам. После получения нового аргумента самая старая точка отбрасывается, и следующая секущая строится по обновлённой паре.
Разность аргументов в числителе принципиальна: это xₖ−xₖ₋₁, а не сам xₖ. Если начальные точки равны 1 и 2, их расстояние равно 1. Подмена расстояния координатой удваивает поправку и даёт совершенно другую последовательность, хотя запись внешне похожа.
При хороших условиях порядок сходимости к простому корню равен золотому отношению, примерно 1,618. Это быстрее линейного деления ошибки, но медленнее квадратичного метода Ньютона. Сравнивать нужно также цену вычислений: после старта обычно требуется лишь одно новое значение функции за шаг.
Обычные секущие отличаются от метода ложного положения. Последний специально сохраняет концы с разными знаками, тогда как секущие всегда используют последние две точки. Поэтому даже старт внутри правильного отрезка не даёт такой же гарантии локализации, как бисекция.
Как пользоваться формулой
- Задайте два различных аргумента и найдите значения функции; равные значения делают знаменатель шага нулевым.
- Вычислите обе разности в одном порядке: текущая точка минус предыдущая, текущее значение минус предыдущее.
- Умножьте текущее значение функции на отношение разностей и вычтите полученную поправку из текущего аргумента.
- Сдвиньте пару к двум последним точкам; проверяйте область определения, величину шага и невязку на каждой итерации.
Историческая справка
Метод секущих входит в семейство интерполяционных способов решения уравнений: исходную функцию локально заменяют более простой, здесь линейной, моделью. Название описывает геометрическую конструкцию, а не однозначное историческое авторство. В развитии вычислительной математики XX века особенно существенным стало сравнение методов по числу обращений к функции и производной. Такая постановка объясняет интерес к секущим даже при меньшем порядке сходимости, чем у Ньютона: вычисление производной может стоить дорого или требовать отдельного алгоритма. Современные NIST DLMF и Fundamentals of Numerical Computation описывают метод через две последние точки и анализ локальной ошибки. Это отделяет его от внешне близкого ложного положения, где обновление концов подчинено сохранению смены знака.
Историческая линия формулы
На этой странице метод секущих рассматривается как интерполяционный алгоритм без приписывания единственному изобретателю. Геометрическое имя относится к прямой через две точки; современный анализ порядка сходимости и критерии остановки составляют отдельную часть численного анализа.
Пример
Для f(x) = x² − 2 выберем x₀ = 1 и x₁ = 2. Значения функции равны − 1 и 2. Тогда x₂ = 2 − 2 · (2 − 1)/(2 − ( − 1)) = 2 − 2/3 = 4/3 ≈ 1,333333. Значение f(x₂) = 16/9 − 2 = − 2/9. Следующая пара состоит из 2 и 4/3, поэтому x₃ = 4/3 − ( − 2/9) · (4/3 − 2)/(( − 2/9) − 2) = 7/5 = 1,4. Проверка: f(1,4) = − 0,04; невязка уменьшилась по сравнению с − 2/9. Точный корень √2 ≈ 1,414214 ещё не достигнут. Все аргументы безразмерны. Если ошибочно взять в первом числителе 2 вместо разности 2 − 1, получится 2/3: это арифметический результат другой, неверной формулы, а не шаг метода секущих.
Частая ошибка
Не заменяйте разность аргументов одним из аргументов. Не смешивайте порядок вычитания в числителе и знаменателе. Не оставляйте навсегда один стартовый конец: это уже другая схема. Не обещайте сохранения отрезка с корнем. Перед делением проверяйте равенство и близость значений функции.
Практика
Задачи с решением
Линейная функция
Условие. Найдите шаг секущих для f(x) = 3x − 6 из точек x₀ = 0 и x₁ = 4.
Решение. f(0) = − 6, f(4) = 6. Новый аргумент 4 − 6 · (4 − 0)/(6 − ( − 6)) = 4 − 2 = 2. Для линейной функции секущая совпала с графиком, поэтому f(2) = 0.
Ответ. 2 — точный корень.
Другой квадратный корень
Условие. Выполните первый шаг для f(x) = x² − 5 из x₀ = 2, x₁ = 3.
Решение. f(2) = − 1, f(3) = 4. Получаем x₂ = 3 − 4 · (3 − 2)/(4 − ( − 1)) = 3 − 4/5 = 2,2. Невязка 2,2² − 5 = − 0,16.
Ответ. 2,2; невязка −0,16.
Дополнительные источники
- https://dlmf.nist.gov/3.8
- https://fncbook.com/secant/
Связанные формулы
Математика
Метод Ньютона: приближение корня по касательной
Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.
Математика
Метод бисекции: корень и гарантированная точность
Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.
Математика
График линейной функции по двум точкам
Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.