Среднее арифметическое
Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
Аналитика
Описательная статистика
Среднее, медиана, дисперсия, стандартное отклонение и распределения.
27 формул
Формулы темы
Медиана
Медиана делит упорядоченный набор данных пополам: половина значений не больше медианы, а половина не меньше ее. Это устойчивая мера типичного значения.
$Me=x_{(\frac{n+1}{2})}\quad\text{для нечетного }n$
Мода
Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Она полезна для категорий, популярных вариантов и повторяющихся числовых значений.
$Mo=\text{значение с максимальной частотой}$
Размах вариации
Размах вариации показывает расстояние между максимальным и минимальным значением набора данных. Это самый простой показатель разброса.
$R=x_{max}-x_{min}$
Выборочная дисперсия
Выборочная дисперсия с делением на n−1 оценивает дисперсию генеральной совокупности по выборке и измеряет средний квадрат отклонений от выборочного среднего.
$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$
Выборочное стандартное отклонение
Выборочное стандартное отклонение показывает типичный масштаб отклонения значений от среднего в исходных единицах показателя.
$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$
Квартили и межквартильный размах
Межквартильный размах, или IQR, показывает ширину средней половины данных: это разница между третьим и первым квартилем. Формула: IQR = Q3 - Q1.
$IQR=Q_3-Q_1$
Правило выбросов по IQR
Правило 1,5 IQR помечает возможные выбросы: значение считают необычным, если оно меньше Q1 - 1,5*IQR или больше Q3 + 1,5*IQR. Это правило для первичной проверки, а не автоматического удаления строк.
$x<Q_1-1.5\cdot IQR\quad\text{или}\quad x>Q_3+1.5\cdot IQR$
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации показывает относительный разброс: стандартное отклонение делят на среднее и выражают результат в процентах.
$CV=\frac{s}{\bar{x}}\cdot100\%$
Z-оценка
Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений наблюдение находится выше или ниже среднего значения, и помогает сравнивать разные шкалы.
$z=\frac{x-\bar{x}}{s}$
Размер выборки для одной доли
Размер выборки для одной доли: формула n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2} помогает величины n, z, p, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$
t-тест для сравнения двух средних
t-тест для сравнения двух средних: формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} помогает величины t, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$
t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями
t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями: формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} помогает величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$
Критерий хи-квадрат независимости
Критерий хи-квадрат независимости: формула \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} помогает величины chi, O, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$
Доверительный интервал для доли
Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$
Размер эффекта Cohen's d для двух средних
Размер эффекта Cohen's d для двух средних: формула d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p} помогает величины d, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p}$
Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности
Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности: формула V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить силу связи в категориальной таблице. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}}$
Гармоническое среднее: скорости на равных участках
Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке.
$H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$
Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения
Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую.
$G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$
Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке
Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых.
$g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$
Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент
Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3.
$g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$
Неравенство Чебышёва: граница вероятности отклонения
Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность отклонения случайной величины от её среднего через дисперсию. Оно не требует нормального распределения и даёт верхнюю границу, а не точную вероятность события.
$P(|X-\mu|\ge a)\le\min\left(1,\frac{\sigma^2}{a^2}\right),\qquad a>0$
Корреляция Спирмена: связь между рангами величин
Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов.
$r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$
Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары
Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей.
$\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}$
Медианное абсолютное отклонение MAD: устойчивый разброс
MAD — медиана абсолютных расстояний наблюдений от медианы выборки. Эта мера разброса меньше реагирует на отдельные крайние значения, чем стандартное отклонение, и сохраняет единицы исходной величины.
$m=\operatorname{med}(x_1,\ldots,x_n),\qquad MAD=\operatorname{med}_{i}|x_i-m|$
Усечённое среднее: симметричное удаление крайних значений
Усечённое среднее получают, удалив одинаковое число наименьших и наибольших наблюдений, а затем усреднив оставшиеся. Параметр k задаёт число удалений с каждого края, а не общее число отброшенных значений.
$\bar{x}_{\mathrm{trim}}=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}$
Винзоризированное среднее: замена крайних значений
Винзоризированное среднее ограничивает влияние хвостов: k нижних значений заменяют ближайшей оставшейся границей, k верхних — верхней границей. Количество наблюдений и знаменатель n сохраняются.
$\bar{x}_W=\frac{kx_{(k+1)}+\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}+kx_{(n-k)}}{n}$