Аналитика / Описательная статистика

Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия с делением на n−1 оценивает дисперсию генеральной совокупности по выборке и измеряет средний квадрат отклонений от выборочного среднего.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}

Отклонения Квадраты отклонений от среднего

Точки расположены вокруг линии среднего; вертикальные расстояния до среднего показаны и подписаны как отклонения.

Дисперсия складывает квадраты отклонений и делит их на n−1.

Обозначения

$s^2$: выборочная дисперсия, квадрат единицы исходного показателя
$x_i$: отдельное наблюдение, единица исходного показателя
$\bar{x}$: среднее арифметическое выборки, единица исходного показателя
$n$: число наблюдений в выборке, шт.

Условия применения

Данные числовые и измерены в одинаковых единицах.
Набор рассматривается как выборка из генеральной совокупности; для полного набора может использоваться деление на n.
Среднее рассчитано по тем же наблюдениям; число наблюдений n больше 1.

Ограничения

Дисперсия выражается в квадратных единицах, поэтому ее трудно интерпретировать напрямую.
Формула чувствительна к выбросам, потому что отклонения возводятся в квадрат.
При n меньше 2 выборочная дисперсия не рассчитывается, так как знаменатель n−1 равен нулю или отрицателен.

Подробное объяснение

Дисперсия начинается с отклонений от среднего. Если значение выше среднего, отклонение положительное; если ниже — отрицательное. Простая сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому отклонения возводят в квадрат. Так отрицательные и положительные отклонения не компенсируют друг друга.

Сумма квадратов отклонений показывает общий разброс, но ее нужно нормировать. Для несмещенной выборочной оценки дисперсии генеральной совокупности используют число степеней свободы n−1, потому что среднее уже оценено по этим же данным. Если же описывают весь имеющийся набор как генеральную совокупность, в знаменателе часто стоит n.

Дисперсия важна математически, но не всегда удобна для прямой интерпретации. Если время измеряется в минутах, дисперсия измеряется в квадратных минутах. Поэтому в отчетах чаще показывают стандартное отклонение, а дисперсию используют как промежуточный расчет. Несмотря на сложность интерпретации, дисперсия является фундаментом многих методов: она позволяет сравнивать разброс, строить модели ошибок и оценивать неопределенность.

Как пользоваться формулой

Рассчитайте среднее по выборке.
Вычтите среднее из каждого наблюдения.
Возведите каждое отклонение в квадрат.
Сложите квадраты отклонений.
Разделите сумму на n−1.

Историческая справка

Дисперсия стала центральным понятием статистики, когда исследователям потребовалось измерять не только центральный уровень, но и разброс наблюдений. Квадраты отклонений удобны математически: они убирают знаки и дают основу для методов наименьших квадратов, анализа ошибок и вероятностных моделей. В выборочной статистике деление на n−1 связано с оцениванием неизвестного среднего по тем же данным и известно как поправка Бесселя. В современной аналитике дисперсия часто скрыта внутри функций и моделей, но она продолжает работать в стандартном отклонении, A/B-тестах, регрессии, оценке неопределенности и контроле качества данных. Поэтому понимание дисперсии помогает читать не только отчеты, но и выводы моделей.

Историческая линия формулы

Деление на n−1 известно как поправка Бесселя и связано с оцениванием неизвестного среднего по тем же выборочным данным. В статье формула трактуется именно как несмещенная выборочная оценка дисперсии генеральной совокупности, а не как единственный способ описать разброс любого набора.

Пример

Есть выборка времени обработки заявок: 4, 6, 8 минут. Среднее равно (4+6+8)/3 = 6 минут. Отклонения от среднего: -2, 0 и 2. Квадраты отклонений: 4, 0 и 4, сумма равна 8. Выборочная дисперсия s² = 8/(3-1) = 4 мин². Квадратные минуты неудобны для интерпретации, поэтому часто сразу берут квадратный корень и получают стандартное отклонение s = 2 минуты. Деление на n−1 используется потому, что по выборке оценивают разброс более широкой совокупности, а среднее уже было оценено из этих же данных. В отчете рядом стоит показать и исходные значения, чтобы было видно, откуда взялся разброс.

Частая ошибка

Частая ошибка — делить на n вместо n−1, когда нужна именно несмещенная выборочная оценка дисперсии генеральной совокупности. Деление на n используется для генеральной совокупности или в некоторых описательных расчетах по полному набору. Вторая ошибка — интерпретировать дисперсию в исходных единицах, хотя единицы квадратные. Третья ошибка — не проверять выбросы: одно экстремальное значение резко увеличивает сумму квадратов. Также важно считать среднее и дисперсию по одному и тому же набору после одинаковой фильтрации.

Практика

Задачи с решением

Дисперсия трех значений

Условие. Найдите выборочную дисперсию для значений 2, 4, 6.

Решение. Среднее 4. Отклонения: -2, 0, 2. Квадраты: 4, 0, 4. Сумма 8. s² = 8/(3-1) = 4.

Ответ. 4

Почему n−1

Условие. Для выборки из 5 наблюдений сумма квадратов отклонений равна 40. Найдите выборочную дисперсию.

Решение. Для выборочной дисперсии делим на n−1 = 4. s² = 40/4 = 10.

Ответ. 10

Дополнительные источники

OpenStax Introductory Statistics, раздел Measures of the Spread of the Data
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, разделы о sample variance
OpenStax Statistics, разделы о выборочной дисперсии и стандартном отклонении

Связанные формулы

Аналитика

Выборочное стандартное отклонение

$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$

Выборочное стандартное отклонение показывает типичный масштаб отклонения значений от среднего в исходных единицах показателя.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Аналитика

Z-оценка

$z=\frac{x-\bar{x}}{s}$

Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений наблюдение находится выше или ниже среднего значения, и помогает сравнивать разные шкалы.