Математика / Алгебра
Степень степени
При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.
Формула
Обозначения
- $a$
- основание степени
- m, n
- показатели степени
Условия применения
- В степень возводится уже записанная степень a^m.
- Показатели m и n в базовом курсе рассматриваются как натуральные числа.
- Основание остается тем же самым на всех шагах преобразования.
Ограничения
- Нельзя складывать показатели в формуле (a^m)^n; сложение относится к произведению степеней.
- Если основание имеет ограничения, они сохраняются после преобразования.
- При сложных выражениях в основании нужно следить, вся ли степень заключена в скобки.
Подробное объяснение
Степень степени означает, что выражение a^m повторяется как множитель n раз. Каждая копия a^m содержит m множителей a. Если таких копий n, общее число множителей a равно m*n. Поэтому (a^m)^n превращается в a^(mn). Основание не меняется, потому что все множители остаются тем же a. Меняется только показатель, который теперь отражает общее количество повторений. Правило отличается от произведения степеней. В a^m*a^n складываются две группы множителей, а в (a^m)^n одна группа из m множителей повторяется n раз. Поэтому там m+n, а здесь mn. В задачах правило часто работает вместе со степенью произведения. Например, (2x^3)^2 сначала дает 2^2*(x^3)^2, а затем 4x^6. Если забыть умножить показатели, степень буквы получится неверной. Полезная проверка - раскрыть маленький пример по определению: (a^2)^3 = a^2*a^2*a^2 = a^6. При проверке результата полезно выполнить обратный ход: подставить найденное значение, раскрыть скобки или восстановить исходную геометрическую связь. Если равенство сохраняется, формула применена к нужной структуре.
Как пользоваться формулой
- Определите внутренний показатель m.
- Определите внешний показатель n.
- Оставьте основание a.
- Перемножьте показатели m и n.
Историческая справка
Правило степени степени оформилось вместе с развитием показательной записи. Пока степени описывали словами, преобразование объясняли как повторное повторение множителей. С появлением буквенной символики и верхних индексов стало удобно записывать общее правило для любых натуральных показателей. В учебной алгебре оно заняло место рядом с произведением и частным степеней, потому что все эти свойства выводятся из одного определения. Позднее те же идеи расширили на нулевые, отрицательные и рациональные показатели, но в 7 классе достаточно натурального случая. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.
Историческая линия формулы
Единственного автора у правила нет. Оно следует из определения степени с натуральным показателем; современная компактная запись связана с развитием алгебраической символики и показателей степени. Поэтому в учебной атрибуции указывают математическую традицию и вывод из определения, а не одного автора.
Пример
Задача: упростить выражение (x^4)^3. Дано: основание x, внутренний показатель 4, внешний показатель 3. По формуле степени степени (a^m)^n = a^(mn): (x^4)^3 = x^(4*3) = x^12. Ответ: x^12. Проверка по определению: (x^4)^3 = x^4*x^4*x^4. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 4+4+4=12. Получается тот же результат x^12. Если бы показатели сложили как 4+3, вышло бы x^7, что противоречит раскрытию по определению. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.
Частая ошибка
Чаще всего показатели складывают вместо умножения. Это происходит из-за смешения с правилом произведения степеней. Еще одна ошибка - забыть скобки: a^m^n без ясной записи может читаться иначе, поэтому в школьной записи используют (a^m)^n. В одночленах нужно отдельно возвести коэффициент и умножить показатели у буквенных степеней.
Практика
Задачи с решением
Упростить степень степени
Условие. Упростите (a^5)^2.
Решение. Показатели перемножаются: (a^5)^2=a^(5*2)=a^10.
Ответ. a^10
Применить правило к одночлену
Условие. Упростите (y^3)^4*y.
Решение. (y^3)^4=y^12, затем y^12*y=y^13.
Ответ. y^13
Дополнительные источники
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
- ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»
Связанные формулы
Математика
Степень произведения
Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.
Математика
Произведение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.
Математика
Степень одночлена
При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.