Математика / Алгебра

Произведение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Обозначения

$a$: основание степени
m, n: показатели степени

Условия применения

Основания степеней совпадают буквально или после допустимого преобразования.
Показатели в курсе 7 класса обычно натуральные числа.
Операция между степенями - умножение, а не сложение и не вычитание.

Ограничения

Нельзя складывать показатели у степеней с разными основаниями: a^m*b^n не превращается в a^(m+n).
При сложении степеней правило не работает: a^m + a^n не равно a^(m+n).
Если основание имеет ограничения, например переменная в знаменателе, их нужно сохранять отдельно.

Подробное объяснение

Степень с натуральным показателем означает повторяющееся умножение. Выражение a^m содержит m множителей a, а выражение a^n содержит n таких же множителей. При перемножении обе группы становятся одной цепочкой одинаковых множителей. Именно поэтому показатели складываются: общее число множителей a равно m+n. Основание не меняется, потому что каждый множитель в произведении остается тем же самым a. Формула a^m*a^n = a^(m+n) записывает этот счет множителей одной строкой. Если увеличить один показатель на 1, в произведении появляется еще один множитель a, значит итоговый показатель тоже увеличивается на 1. Такая зависимость объясняет, почему выполняется сложение показателей, а не их умножение. В задачах правило применяют при умножении одночленов: x^2*x^5 = x^7, 3a^2*4a^3 = 12a^5. Сначала перемножают числовые коэффициенты, затем объединяют степени с одинаковыми основаниями. Перед применением нужно проверить основание. Выражения x^2*y^3 и x^2*x^3 обрабатываются по-разному: в первом случае основания разные, во втором одинаковые.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что основания степеней одинаковые.
Оставьте основание без изменения.
Сложите показатели.
Запишите результат в виде одной степени.

Историческая справка

Правила степеней развивались вместе с записью повторяющегося умножения. В древней математике квадраты и кубы часто понимались геометрически, через площади и объемы. Более общая символика степеней стала формироваться в европейской алгебре Нового времени, когда математики начали записывать повторяющиеся множители кратко. После появления удобных показателей стало естественно выделить правила действий со степенями: произведение одинаковых оснований, частное, степень степени. В школьной алгебре 7 класса это правило служит первым шагом к работе с одночленами, многочленами и более сложными степенными выражениями. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.

Историческая линия формулы

У правила нет единственного автора. Оно следует из определения степени с натуральным показателем и относится к общей традиции алгебраической символики, которая постепенно оформила короткую запись повторяющегося умножения.

Пример

Задача: упростить выражение 4x^3 * 2x^5. Дано: два одночлена с одинаковым буквенным основанием x. Сначала перемножаем коэффициенты: 4*2 = 8. Затем применяем правило степеней: x^3*x^5 = x^(3+5) = x^8. Получаем 4x^3 * 2x^5 = 8x^8. Ответ: 8x^8. Проверка при x = 2: исходное выражение равно 4*8 * 2*32 = 32*64 = 2048. Итоговое выражение 8*2^8 = 8*256 = 2048. Значения совпали, значит показатели сложены верно. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.

Частая ошибка

Главная ошибка - применять правило к разным основаниям: x^2*y^3 нельзя записать как x^5. Еще часто складывают показатели при сложении степеней, хотя x^2 + x^3 не равно x^5. В одночленах забывают отдельно перемножить коэффициенты. Проверяйте: правило относится только к умножению степеней с одним и тем же основанием.

Практика

Задачи с решением

Умножить степени одной буквы

Условие. Упростите x^4*x^6.

Решение. Основание одинаковое, поэтому показатели складываются: x^4*x^6=x^(4+6)=x^10.

Ответ. x^10

Умножить одночлены

Условие. Упростите 5a^2*3a^7.

Решение. Коэффициенты дают 15, степени с основанием a дают a^(2+7)=a^9. Итог: 15a^9.

Ответ. 15a^9

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Частное степеней с одинаковым основанием

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Математика

Степень одночлена

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.