Математика / Тригонометрия

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Школьная программа ОГЭ ЕГЭ Формулы по математике за 8 класс Формулы по математике за 9 класс Тригонометрия Планиметрия Калькулятор Есть историческая справка

Формула

\tan \alpha = \frac{a}{b}

geometry-diagram Схема: тангенс острого угла

Текстовая схема показывает, какие величины из условия подставляются в формулу и какой элемент требуется найти.

прямоугольный треугольник: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Обозначения

$\alpha$: острый угол прямоугольного треугольника, градусы или радианы
$a$: противолежащий катет, единицы длины
$b$: прилежащий катет, единицы длины

Условия применения

Формула применяется к ситуации: прямоугольный треугольник.
Все величины должны быть выражены в согласованных единицах перед подстановкой.
В условии должны быть известны все величины, кроме одной искомой.
На чертеже должно быть доказано нужное геометрическое свойство, а не только видно по рисунку.

Ограничения

Формулу нельзя применять, если объект задачи не соответствует условию: прямоугольный треугольник.
Ошибки в единицах измерения меняют численный ответ даже при правильной алгебре.
Если в задаче есть дополнительные этапы, их считают отдельными формулами.
Наклонные стороны, внешние углы и похожие отрезки нельзя подставлять вместо высоты, основания или нужной стороны.

Подробное объяснение

Тангенс острого угла описывает ситуацию «прямоугольный треугольник»: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Смысл результата не сводится к подстановке чисел: перед вычислением нужно распознать, какие элементы задачи соответствуют буквам в формуле. Идея формулы такова: в подобных прямоугольных треугольниках отношение соответствующих катетов остается одинаковым для одного и того же угла. Поэтому равенство работает не для любой похожей записи, а для строго указанной конфигурации или физической модели. Если перепутать элемент, формула начнет считать другую величину. Поведение результата удобно проверять по зависимости величин. Гипотенуза в отношение тангенса не входит, а прилежащий катет не должен быть нулевым. При увеличении множителя, стоящего в числителе или произведении, результат обычно растет; при увеличении величины в знаменателе уменьшается. В типовых школьных задачах сначала выписывают данные, затем подставляют их в формулу и только после этого округляют или переводят единицы. Такой порядок уменьшает риск арифметической ошибки и помогает увидеть, не требуется ли перед основной формулой дополнительный шаг. Перед записью ответа полезно выполнить короткую проверку: сравнить результат с геометрическим смыслом, размерностью или обратной подстановкой. Если проверка противоречит условию, чаще всего перепутаны стороны, знаки, единицы или выбран не тот этап процесса.

Как пользоваться формулой

Определите, что в задаче действительно рассматривается прямоугольный треугольник.
Выпишите известные величины и переведите их в согласованные единицы.
Подставьте значения в формулу, не меняя местами обозначения.
Выполните вычисления по действиям и сохраните единицы результата.
Проверьте ответ по смыслу: гипотенуза в отношение тангенса не входит, а прилежащий катет не должен быть нулевым.

Историческая справка

Геометрические формулы площади, сторон и отношений возникли из землемерия, строительства и античной доказательной геометрии. В греческой традиции свойства фигур связывали с построениями и строгими рассуждениями, а в школьной записи они стали короткими расчетными правилами. Для темы «тангенс острого угла» исторически важна практическая задача: прямоугольный треугольник нужно было не только описать, но и измерить. Современная формула стала удобной потому, что отделяет постоянные свойства объекта от переменных данных конкретной задачи. Единственная дата или один автор обычно не исчерпывают происхождение школьной записи. В учебниках она закрепилась как итог долгого отбора обозначений, единиц и способов доказательства или эксперимента. Поэтому исторический блок корректнее связывает формулу с научной традицией и областью применения, а не превращает ее в легенду об одном открытии.

Историческая линия формулы

Для темы «тангенс острого угла» корректная атрибуция указывает не только имя, если оно традиционно связано с результатом, но и более широкий контекст: школьная формула является современной записью доказательства, тождества или экспериментального закона. Поэтому ее следует связывать с развитием евклидовой геометрии и практики измерений, а не с произвольным единичным авторством.

Пример

Условие: в прямоугольном треугольнике противолежащий катет к углу α равен 6 см, прилежащий 8 см. Дано: a = 6 см, b = 8 см. Найти: tg α. Подстановка: tg α = a/b = 6/8 = 0,75. Ответ: 0,75. Проверка: отношение безразмерно, потому что сантиметры сокращаются; угол острый, оба катета положительны. Развернутая проверка. Условие уже содержит все данные для одной подстановки: \alpha — острый угол прямоугольного треугольника (градусы или радианы); a — противолежащий катет (единицы длины); b — прилежащий катет (единицы длины). Сначала записывают известные величины, затем выполняют вычисление без округления промежуточных результатов. Для контроля можно решить близкую задачу: Противолежащий катет 9 см, прилежащий 12 см. Найдите tg α. Решение: tg α = 9/12 = 0,75. Ответ: 0,75. Такой контроль показывает, что порядок действий, единицы и смысл результата согласованы.

Частая ошибка

Частая ошибка — применять формулу к похожей, но другой ситуации: прямоугольный треугольник должен быть установлен по условию или доказан. Еще одна ошибка — подставлять величины без единиц и получать численно верный, но физически или геометрически неверный ответ. Отдельно проверяйте ключевой нюанс: гипотенуза в отношение тангенса не входит, а прилежащий катет не должен быть нулевым. В алгебраических преобразованиях нельзя терять скобки и знаки, в геометрии — брать размер с рисунка на глаз, а в физике — смешивать этапы процесса. Надежная самопроверка: выполнить обратную подстановку или оценить, должен ли результат быть больше, меньше или иметь указанную размерность.

Практика

Задачи с решением

Найти тангенс

Условие. Противолежащий катет 9 см, прилежащий 12 см. Найдите tg α.

Решение. tg α = 9/12 = 0,75.

Ответ. 0,75

Решение использует те же обозначения, что и основная формула; после вычисления ответ проверяется по единицам и смыслу результата.

Найти катет

Условие. tg α = 3/4, прилежащий катет 16 см. Найдите противолежащий.

Решение. a = tg α · b = 3/4 · 16 = 12 см.

Ответ. 12 см

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике, раздел «Геометрия»
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение
Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Теорема Пифагора

$c^2 = a^2 + b^2$

Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

Математика

Основное тригонометрическое тождество

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество sin^2 x+cos^2 x=1 выражает связь координат точки единичной окружности и верно для любого угла x.

Математика

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

$\alpha+\beta=90^\circ$

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки.

Математика

Перевод градусов в радианы

$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$

Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам.