Математика / Алгебра
Расстояние между точками на координатной прямой
Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому результат всегда неотрицателен.
Формула
Обозначения
- $d$
- расстояние между точками, единицы длины
- $x_1, x_2$
- координаты точек
Условия применения
- Точки лежат на одной координатной прямой.
- Координаты записаны в одной системе отсчета и в одинаковых единицах.
- Нужно найти именно расстояние, а не направление перемещения.
Ограничения
- Формула не дает координату середины отрезка; для нее используют среднее арифметическое координат.
- На плоскости расстояние между точками считают другой формулой с двумя координатами.
- Если важен направленный шаг, модуль брать нельзя, потому что знак несет смысл направления.
Подробное объяснение
Расстояние на координатной прямой измеряет длину отрезка между двумя точками. Разность x2-x1 показывает направленный переход от первой точки ко второй, а модуль убирает знак и оставляет только длину. Если точки поменять местами, разность сменит знак, но модуль останется тем же. Поэтому расстояние от A до B равно расстоянию от B до A. Это соответствует геометрическому смыслу длины отрезка. При увеличении разрыва между координатами расстояние растет на столько же. Если координаты совпадают, разность равна нулю, и расстояние тоже равно нулю. Отрицательные координаты не создают отдельного правила: модуль разности работает одинаково для всех чисел. В задачах формула полезна, когда точки расположены по разные стороны от нуля. Например, между -4 и 3 расстояние равно |3-(-4)|=7, а не 1. Перед подстановкой нужно решить, требуется ли длина или направленное изменение. Для длины используют модуль, для изменения координаты иногда оставляют знак.
Как пользоваться формулой
- Запишите координаты двух точек.
- Вычтите одну координату из другой.
- Возьмите модуль результата.
- Запишите расстояние как неотрицательное число.
Историческая справка
Координатная прямая появилась как удобный способ соединить числа и геометрические положения. Отрицательные числа долго входили в математику постепенно, но после их закрепления стало естественно изображать их точками слева от нуля. Координатный метод XVII века усилил связь алгебры и геометрии: положение точки стали описывать числом, а геометрические расстояния - выражениями с координатами. Формула с модулем отражает эту связь: алгебраическая разность дает направленный шаг, а геометрическая длина требует убрать знак. В школе она готовит к расстояниям на плоскости и к работе с модулем. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.
Пример
Задача: найти расстояние между точками A(-6) и B(5) на координатной прямой. Дано: x1 = -6, x2 = 5. Подстановка: d = |x2 - x1| = |5 - (-6)| = |11| = 11. Ответ: расстояние равно 11 единицам. Проверка по прямой: от -6 до 0 шесть единичных отрезков, от 0 до 5 еще пять, всего 6+5=11. Если поменять точки местами, получится |-6-5|=|-11|=11, то есть длина не зависит от порядка записи точек. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.
Частая ошибка
Часто забывают модуль и получают отрицательное расстояние, хотя длина не может быть меньше нуля. Еще одна ошибка - неверно вычитать отрицательную координату: 5 - (-6) равно 11. Иногда расстояние путают с координатой середины. Проверяйте ответ по рисунку: он должен совпадать с числом единичных отрезков между точками.
Практика
Задачи с решением
Точки по разные стороны от нуля
Условие. Найдите расстояние между -8 и 2.
Решение. d=|2-(-8)|=|10|=10.
Ответ. 10
Точки слева от нуля
Условие. Найдите расстояние между -9 и -4.
Решение. d=|-4-(-9)|=|5|=5.
Ответ. 5
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
- ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»
Связанные формулы
Математика
Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.
Математика
Линейная функция
Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.
Математика
Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.