Машиностроение / Передачи

Передача по шагу зубчатой/цепной звёздочки

Если известны количества зубьев или шаговые диаметры, можно найти геометрическое и крутильное передаточное отношение пары.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

i = \frac{z_2}{z_1}=\frac{D_2}{D_1},\quad M_2\approx\eta\,i\,M_1

diagram Зубчатая передача по зубьям

Пара колес с нанесёнными z₁ и z₂ и направлением крутящего момента.

Увеличение z₂ относительно z₁ повышает редукцию.

Обозначения

$i$: Передаточное отношение звенья, безразмерное
$z_1$: Число зубьев ведущего звена, шт
$z_2$: Число зубьев ведомого звена, шт
$D_1$: Диаметр делительной окружности ведущего, м
$D_2$: Диаметр делительной окружности ведомого, м
$\eta$: КПД звена, безразмерное
$M_1$: Входной крутящий момент, Н·м
$M_2$: Выходной крутящий момент, Н·м

Когда применять

Применяется в проектировании шестеренчатых и звёздочковых звеньев, где геометрия задана через число зубьев. Расчет применяют на раннем подборе редуктора, зубчатой пары, ременной или цепной передачи, когда нужно согласовать скорость двигателя с требуемой скоростью рабочего органа. Важно сразу указать, какая величина задана на входе, какая нужна на выходе, учитываются ли КПД, скольжение, число зубьев, диаметр шкива или несколько ступеней.

Условия применения

Передаточное отношение определяют для правильного зацепления (без подрезания и интерференции).
Диаметры и зубчатый шаг должны соответствовать выбранному модулю.
Учитывать направление вращения при необходимости.

Ограничения

Не учитывает проскальзывание, присущие ремённым и цепным цепям.
При мелком зубчатом числе возможны ошибки от геометрических допусков.
Для планетарных передач нужна своя модель пересчёта скоростей.

Подробное объяснение

Для прямозубого сопряжения базовая кинематика сохраняется через отношение чисел зубьев и диаметров при постоянном модуле. Для страницы «Передача по шагу зубчатой/цепной звёздочки» расчет начинается с выбора направления передачи мощности. Входной вал, ведущая шестерня, шкив или звездочка должны быть отделены от выходного элемента, потому что обратное отношение дает другой инженерный смысл. Формула i = \frac{z_2}{z_1}=\frac{D_2}{D_1},\quad M_2\approx\eta\,i\,M_1 описывает кинематическую или энергетическую связь при выбранной схеме и не должна применяться без этой привязки. Физический смысл результата связан с сохранением мощности с учетом потерь. Если передача снижает скорость вращения, крутящий момент на выходе обычно растет, но только после учета КПД. Если скорость повышается, момент уменьшается. Для ременной передачи дополнительно проверяют скольжение, а для цепной и зубчатой передачи - число зубьев, делительную окружность и допустимые обороты. Единицы должны быть согласованы. Скорость вращения в об/мин можно использовать в отношениях, если обе скорости заданы одинаково; для мощности P=Mω угловая скорость нужна в рад/с. Диаметры шкивов и колес должны быть в одной единице, а КПД подставляют как долю единицы, если в формуле нет множителя 100%. Практическая проверка делается по направлению изменения. При i>1 редуктор должен давать меньшую выходную скорость, а при i<1 - повышающую передачу. Для многоступенчатой схемы частные отношения и КПД перемножают по ступеням, а затем проверяют, что итоговая скорость и мощность физически достижимы для выбранного узла. Ограничения расчета связаны с тем, что формула описывает идеализированную кинематику или энергетический баланс. Реальная конструкция требует проверки прочности зубьев, натяжения ремня или цепи, нагрева, смазки, шума, ресурса подшипников и допустимых динамических нагрузок.

Как пользоваться формулой

Определите входной и выходной элементы передачи, чтобы не перевернуть отношение.
Запишите исходные скорости, диаметры, числа зубьев, момент, мощность или КПД в согласованных единицах.
Выберите нужную форму формулы и подставьте значения без смешения процентов и долей единицы.
Проверьте направление изменения: редукция уменьшает скорость и увеличивает момент только с учетом потерь.
Сравните результат с конструктивными ограничениями: допустимые обороты, нагрузка, скольжение, нагрев и ресурс.

Историческая справка

Расчёты по числу зубьев используются во всех курсах расчёта зубчатых передач и приводят к простому геометрическому закону. Практика расчета передач развивалась вместе с промышленными машинами XVIII-XIX веков, когда паровые машины, станки и позже электродвигатели потребовали надежно согласовывать скорость источника энергии с рабочим органом. Зубчатые, ременные и цепные передачи стали стандартными элементами машин, а инженерные школы оформили их расчет через кинематику, мощность, момент и КПД. В XX веке эти зависимости закрепились в учебниках по деталям машин и проектированию механизмов, где простые формулы стали первым этапом перед расчетом прочности, ресурса, смазки и теплового режима. Современная запись сохраняет этот порядок: сначала проверяют кинематику и энергетический баланс, затем переходят к конструктивным ограничениям.

Историческая линия формулы

Сформировалось из классической теории инволюты и нормализации модуля в машиностроении. Единственного автора у этой расчетной записи нет: она относится к классической инженерной традиции машиноведения, теории механизмов и деталей машин. Современный вид формулы сформировался в учебной и проектной литературе по зубчатым, ременным и цепным передачам.

Пример

Дано: ведущая шестерня имеет z1=20 зубьев, ведомая z2=50 зубьев. Нужно найти отношение зубчатой пары и оценить изменение момента при eta=0,96. Подстановка: i=z2/z1=50/20=2,5. Если M1=30 Н*м, то M2≈eta*i*M1=0,96*2,5*30=72 Н*м. Ответ: передача снижает скорость в 2,5 раза и дает около 72 Н*м. Проверка: большее ведомое колесо вращается медленнее, а момент растет не идеально из-за потерь. Дополнительная проверка: все скорости сравниваются в одинаковых единицах, КПД используется как доля единицы, а итог не должен противоречить назначению передачи. Для понижающей ступени выходная скорость меньше входной; рост момента возможен только вместе с потерями мощности. Если результат выглядит обратным, сначала проверьте, не перепутаны ли ведущий и ведомый элементы.

Частая ошибка

Часто путают обратное отношение и используют i = z₁/z₂ в понижающих расчётах. Часто путают вход и выход: для редуктора отношение n1/n2 больше единицы, а обратная запись меняет смысл результата. Еще одна ошибка - подставлять КПД как 95 вместо 0,95 в формулах мощности и момента. Для P=Mω нельзя смешивать об/мин и рад/с без перевода. В ременной передаче отдельно учитывают скольжение, а в цепной и зубчатой - число зубьев, а не наружный диаметр случайной детали. Проверяйте направление изменения: скорость, момент и мощность должны вести себя согласованно.

Практика

Задачи с решением

Передаточное отношение по зубьям

Условие. z₁=17, z₂=51.

Решение. i = 51/17 = 3.

Ответ. i=3.

Момент на выходе

Условие. z₁=14, z₂=28, η=0,95, M₁=15 Н·м.

Решение. i=2, M₂=0,95×2×15=28,5 Н·м.

Ответ. M₂=28,5 Н·м.

Дополнительные источники

Juvinall, R. C.; Marshek, K. M. (2005). Fundamentals of Machine Component Design.
Norton, R. L. (2020). Design of Machinery.
Budynas R. G., Nisbett J. K. Shigley’s Mechanical Engineering Design, 11th ed., chapters on gears, shafts and power transmission.
Norton R. L. Design of Machinery, 6th ed., chapters on gear trains, belt drives and chain drives.
Juvinall R. C., Marshek K. M. Fundamentals of Machine Component Design, 5th ed., sections on machine elements and transmissions.

Связанные формулы

Машиностроение

Базовое передаточное отношение передачи

$i = \frac{n_1}{n_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{D_2}{D_1}=\frac{z_2}{z_1}$

Передаточное отношение показывает во сколько раз меняется скорость вращения и крутящий момент между входным и выходным валами редуктора или другой кинематической цепи.

Машиностроение

Скорость по окружности зубчатой и ременной передачи

$v=\frac{\pi D_1 n_1}{60}=\frac{\pi D_2 n_2}{60}=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60}$

Показатель скоростной среды на рабочей поверхности важен для проверки износа, шума и допустимых касательных скоростей. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Машиностроение

Кинематика цепной передачи

$v=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60},\quad i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}$

Скорость цепи связывает геометрию звёзд и вращение вала, а отношение чисел звеньев определяет передаточное число. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Машиностроение

Выходная скорость после передачи

$n_2=\frac{n_1}{i},\quad \omega_2=\frac{\omega_1}{i}$

Формула позволяет быстро определить выходную угловую скорость при известном передаточном отношении и скорости входа. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.